1歳1ヶ月のお小さい息子さん、喘息、アレルギーとのこと、お母様のご不安なお気持ち、痛いほど伝わってきました。
ご心配ですね。

現状を踏まえて、今できることを示しますね。

【最優先】エネルギーと栄養の確保

母乳をしっかり飲めていれば、それが今の彼にとって一番の命綱です。

無理に食べさせようとせず、まずは水分と母乳だけでもOKです。

ただし、体力・免疫に必要な栄養が不足しやすいので、以下のような補助を考えてみてください。

◎おすすめの栄養補助（母乳以外に飲める場合）

・アレルゲン除去済みのフォローアップミルク
「アレルケアミルク」「ニューMA-1」「Eあかちゃん（森永）」など

ニュートライズのビタミンD
1日おきに1プッシュ
免疫を守ります。
乳首につけて含ませてもよいです。

・ビタミン、ミネラル補給。
小児科と相談の上で無添加の野菜スープ（粉末もOK）、ボーンブロススープなどもを少しずつ。

・ビタミーナ　マスカット味を薄くして、1日、１包の半分くらいの量を数回に分けて飲ませる。
ビタミン、ミネラル補給できます。
この中にビタミンDのリキッドを入れてもよいですね。

積極的に腸内環境改善でしたら、パウダータイプのプロバイオティックスもあります。
かかりつけの小児科でご相談になって下さい。

母乳をあげているお母様が栄養療法をしっかりすると、母乳成分にも栄養が行き渡りやすいです。
お食事でタンパク質を増やして、ビタミンBやヘム鉄、亜鉛などしっかり摂るようにして下さい。